七個數學難題@2000

2000年5月24日，美國克雷數學研究所在法國巴黎召開了一次數學會議。 在會議上，與會者們列出了七個數學難題，並作出了一個頗具轟動性的決定：為每個難題設立一百萬美元的巨額獎金。 距此次會議一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次數學會議上，一位名叫希爾伯特的德國數學大師也列出了一系列數學難題。 那些難題一分錢的獎金都沒有，但對後世的數學發展産生了深遠影響。 這兩次遠隔一個世紀遙相呼應的數學會議除了都在巴黎召開外，還有一個相同的地方， 那就是在所列舉的問題之中，有一個且只有一個難題是共同的。 那個難題就是“黎曼猜想”。 ----------------- 德國數學家David Hilbert於1900年在巴黎舉行的第二屆國際數學家協會中公布了他的23個數學難題， 百年來，已經解出了20個問題，而這些結果間接促成了文明史上醫學、科技、與安全問題的重大突破。 千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學以及太空、通訊等領域帶來突破性進展。 哥德巴赫猜想是数论中的难题，但是并未被列入“七大世纪数学难题”。 而在这七大难题之中，数论领域就有两个。 和数论有关的“波奇和斯温纳顿－戴雅猜想”（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）是最有希望破解的一个。 -------------- 七大數學難題 P(多項式演算法)/NP(非多項式演算法問題（P versus NP） 霍奇猜想（The Hodge Conjecture） 龐加萊猜想（The Poincaré Conjecture），此猜想已獲得證實*。 黎曼假設（The Riemann Hypothesis） 楊-米爾斯存在性與質量間隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap） 納維-斯托克斯存在性與光滑性（Navier-Stokes existence and smoothness） 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） *哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布， 在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。 “这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。” 丘成桐说，“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。” ----------------------- “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 P versus NP 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。 由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。 你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。 不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。 然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。 生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。 这是这种一般现象的一个例子。 与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积， 你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。 不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证， 还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。 它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想Conjecture 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。 基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。 这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广； 最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。 不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。 在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。 霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说， 称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想Conjecture 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画， 他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。 这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 Hypothesis 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数； 它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式； 然而，德国数学家黎曼(1826-1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。 著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。 证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五： 杨振宁－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 Existence and Mass Gap 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。 大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。 基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实： 布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。 尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。 特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设， 从来没有得到一个数学上令人满意的证实。 在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 existence and smoothness 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。 数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。 虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。 挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 Conjecture 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。 事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的， 即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。 当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。 特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。