矩阵，度规，张量－－通俗一次搞定法

矩阵，度规，张量－－通俗一次搞定法 在相对论中，常常出现什么矩阵，度规，张量等等概念，有什么办法简单搞定这些东西呢？ 这里只简单介绍如何看懂或判断矩阵，度规，张量这三者的关系，有了这么些基础，也就不怕别人“唬”或“忽”了。 （注：不排除理解错误） （一）矩阵（Matrix） 数学上，一个mn的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。 矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。 另一个重要用途是表示线性变换。 而旋转变换是2维实平面上的线性变换的一种。 基本上，有高中数学基础，加上耐性和细心，就应该能搞定矩阵计算。 但具体对相对论而言，我们一般没必要对矩阵去进行有耐性和细心的计算，只要知道是用于解线性方程组和作线性变换就够了。 因为狭义相对论是线性的缘故，所以，矩阵使用于狭义相对论。 用矩阵推导洛变的结果和用简单坐标方法推导的洛变结果一样，但这种一样应该只强调其数学形式一样，物理模式可以不一样。 因为物理模式有基于“以太”概念的模式和不基于“以太”概念的模式， 这或许就是用矩阵推导洛变需要强调所谓“对称性”或“可逆性”的缘故吧。 在广义相对论中，矩阵只用于微分几何的情况，实质上也就是狭义相对论了。 （二）“度量”概念和度量空间 在数学中，度量空间是一个**，在其中可以定义在这个**的元素之间的距离（叫做度量）的概念。 度规（物理学上的说法）－－给定时空中两个相邻事件间的时空线元，又称度量（数学上的说法）。 有长度定义的空间叫度量空间，度量空间中坐标差为dx的两点间的距离。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。 事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。 欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。 空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造“有趣”的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。 因此，我们要记住一点：度量空间不同于“虚无”的无限空间，度量空间是有某种“定义好了的”空间。 （三）度量张量（度规张量） 在黎曼几何里面，度量张量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量。 这句话涉及三个基本概念： 第一个概念－－度量空间－－已经在上述的第二点作了说明。 第二个概念－－黎曼几何－－是基于黎曼流形（Riemannian manifold）的产物， 黎曼流形是一个微分流形，通过对黎曼流形的“定义” （我们可以定义黎曼流形为和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空间， 等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的）就可以建立黎曼几何。 因为黎曼流形是一个微分流形，所以，黎曼几何也就是一种微分几何。 黎曼微分几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。 它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。 虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。 第三个概念－－张量（Tensor）－－是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多线性函数， 其坐标是n 维空间内，有n^r个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。 r称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在同构的意义下，第零阶张量 （r=0） 为纯量 （Scalar）， 第一阶张量 （r=1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r=2） 则成为矩阵（Matrix）。 例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：(x,y,z)^T 。 由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、 逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。 ======================================== 座標軸轉動 θ 角，座標反轉 -θ 角 如何記？ 基底 正交、歸一，把單位向量轉動到另一個單位向量 x' = x cos(-θ) + y sin(-θ) = x cosθ − y sinθ y' = - x sin(-θ) + y cos(-θ) = x sinθ + y cosθ ∂x'/∂x = cosθ 、 ∂x'/∂y = -sinθ ∂y'/∂x = sinθ 、 ∂y'/∂y = cosθ ======================================= 第一度空間是「點」 第二度空間是「線」 第三度空間是「面」 第四度空間是：「體」 第五度空間是動態的空間叫「速度」 第六度空間因動產生磨擦而生「溫度」 第七度空間因溫度產生熱至爆炸而生「電」 第八度空間因電而產生「聲光」 第九度空間因聲光而產生「波動磁場」 第十度空間是屬於「心靈」的空間，也是最高層次的空間。 ======================================= 愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化， 也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。 到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。 在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式裡，大致說起來，物理的力是一個曲率； 數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。 ====================================== 由古至今,影響幾何學發展的總括為以下25個: 1. π的概念的形成。 2. 畢氏定理。 3. 歐基理德幾何原本及其影響。 4. 柏拉圖的五個正立方體。 5. 阿基米德的球體積的推導。 6. 祖沖之原理。 7. 笛卡兒的座標系統。 8. 牛頓、萊布尼茲的微積分發明。 9. 高斯的優美定理、Gauss-Bonnet定理。 10. 非歐幾何的發展與黎曼的內在幾何觀。 11. Lagarange的變分法及Laplace的天體力學。 12. 尤拉數與波動方程。 13. Klein’s program。 14. 龐加萊平面及基本群。 15. Hilbert的幾何基礎。 16. 愛因斯坦的廣義相對論。 17. de Rham cohomology、Hodge理論及Cartan的微分形式觀點。 18. 陳省身的特徵類與Chern-Weil, Chern-Simon理論。 19. Rauch比較定理。 20. Atiyah-Singer指標定理。 21. 丘成桐教授所代表的幾何分析。 22. Donaldson, Seiberg-Witten理論。 23. M. Gromov的辛幾何。 24. Mandelbrot的碎形幾何與混沌理論。 以及電腦時代的產物− 25. 計算幾何的發展,這可能是本世紀最為重要的。 ======================